GERAK HARMONIK SEDERHANA DAN CONTOH SOAL

Posted by Education World on Monday, 9 November 2015

Make You Smarter - Getaran harmonik atau getaran selaras memiliki ciri frekuensi getaran yang tetap. Pernahkan kita mengamati apa yang terjadi ketika senar gitar dipetik lalu dilepaskan? kita akan melihat suatu gerak bolak-balik melewati
lintasan yang sama. Gerakan seperti ini dinamakan gerak periodik. Contoh lain gerak periodik adalah gerakan bumi mengelilingi matahari (revolusi bumi), gerakan bulan mengelilingi bumi, gerakan benda yang tergantung pada sebuah pegas, dan gerakan sebuah bandul. Di antara gerak periodik ini ada gerakan yang dinamakan gerak harmonik.

Pengertian Getaran Harmonik

Gerak harmonik merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). Gerak semacam ini disebut gerak osilasi atau getaran harmonik. Contoh lain sistem yang melakukan getaran harmonik, antara lain, dawai pada alat musik, gelombang radio, arus listrik AC, dan denyut jantung. Galileo di duga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak.
Getaran HarmonikGerak benda pada lantai licin dan terikat pada pegas untuk posisi normal (a), teregang (b), dan tertekan (c)
Untuk memahami getaran harmonik, kita dapat mengamati gerakan sebuah benda yang diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas . Anggap mula-mula benda berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini dinamakan posisi keseimbangan. Ketika benda ditekan ke kiri (X = –) pegas akan mendorong benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan. Sebaliknya jika benda ditarik ke kanan, pegas akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +).
Gaya yang dilakukan pegas untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan disebut gaya pemulih. Besarnya gaya pemulih menurut Robert Hooke dirumuskan sebagai berikut.
Fp = -kX
Tanda minus menunjukkan bahwa gaya pemulih selalu pada arah yang berlawanan dengan simpangannya. Jika kita gabungkan persamaan di atas dengan hukum II Newton, maka diperoleh persamaan berikut.
Fp = -kX = ma     atau      a=-\left ( \frac{k}{m} \right )X
Terlihat bahwa percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum getaran harmonik.

Syarat Getaran Harmonik

Syarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik, antara lain :
  1. Gerakannya periodik (bolak-balik).
  2. Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
  3. Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan posisi/simpangan benda.
  4. Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.

Periode dan Frekuensi Getaran Harmonik

a. Periode dan Frekuensi Sistem Pegas

kita telah mempelajari gerak melingkar beraturan di kelas X. Pada dasarnya, gerak harmonik merupakan gerak melingkar beraturan pada salah satu sumbu utama. Oleh karena itu, periode dan frekuensi pada pegas dapat dihitung dengan menyamakan antara gaya pemulih (F = -kX) dan gaya sentripetal (F = -4π 2 mf2X).
-4π 2 mf2X = -kX
2 mf2 = k
f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\text{ atau }T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Periode dan frekuensi sistem beban pegas hanya bergantung pada massa dan konstanta gaya pegas.

b. Periode dan Frekuensi Bandul Sederhana

Sebuah bandul sederhana terdiri atas sebuah beban bermassa m yang digantung di ujung tali ringan (massanya dapat diabaikan) yang panjangnya l. Jika beban ditarik ke satu sisi dan dilepaskan, maka beban berayun melalui titik keseimbangan menuju ke sisi yang lain. Jika amplitudo ayunan kecil, maka bandul melakukan getaran harmonik. Periode dan frekuensi getaran pada bandul sederhana sama seperti pada pegas. Artinya, periode dan frekuensinya dapat dihitung dengan menyamakan gaya pemulih dan gaya sentripetal.
Periode dan Frekuensi Bandul SederhanaGaya yang bekerja pada bandul sederhana
Persamaan gaya pemulih pada bandul sederhana adalah F = -mg sinθ . Untuk sudut θ kecil (θ dalam satuan radian), maka sin θθ . Oleh karena itu persamaannya dapat ditulis F = -mg (\frac{X}{l}). Karena persamaan gaya sentripetal adalah F = -4π 2 mf2X, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.
-4π 2 mf2X = -mg (\frac{X}{l})
2 f2 = \frac{g}{l}
f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\text{ atau }T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Periode dan frekuensi bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul, tetapi hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi setempat.

Persamaan Getaran Harmonik

Persamaan getaran harmonik diperoleh dengan memproyeksikan gerak melingkar terhadap sumbu untuk titik yang bergerak beraturan.

a. Simpangan Getaran Harmonik

Simpangan getaran harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi partikel yang bergerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran. Gambar diabawah melukiskan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut ω dan jari-jari A. Anggap mula-mula partikel berada di titik P.
Simpangan Getaran HarmonikProyeksi gerak melingkar beraturan terhadap sumbu Y merupakan getaran harmonik sederhana.
Perhatikan gambar diatas. Setelah selang waktu t partikel berada di titik Q dan sudut yang ditempuh adalah θ = ωt = \frac{2 \pi t}{T}. Proyeksi titik Q terhadap diameter lingkaran (sumbu Y) adalah titik Qy. Jika garis OQy kita sebut y yang merupakan simpangan gerak harmonik sederhana, maka kita peroleh persamaan sebagai berikut.
Y = A sin θ = A sin ω t = A sin \frac{2 \pi t}{T}
Besar sudut dalam fungsi sinus (θ ) disebut sudut fase. Jika partikel mula-mula berada pada posisi sudut θ0, maka persamaanya dapat dituliskan sebagai berikut.
Y = A sin θ = A sin(ω t + θ0) = A sin (\frac{2 \pi t}{T}0)
Sudut fase getaran harmoniknya adalah sebagai berikut.
\theta =(\omega t+\theta _{0})=\left ( \frac{2\pi t}{T}+\theta _{0} \right )\text{ atau }\theta =2\pi \left ( \frac{t}{T} +\frac{\theta _{0}}{2\pi }\right )=2\pi \Phi
Karena Φ disebut fase, maka fase getaran harmonik adalah sebagai berikut.
\Phi =\frac{t}{T}+\frac{\theta _{0}}{2\pi }
Apabila sebuah benda bergetar harmonik mulai dari t = t1 hingga t = t2, maka beda fase benda tersebut adalah sebagai berikut.
\Phi =\Phi _{2}-\Phi _{1}=\frac{t_{2}-t_{1}}{T}=\frac{\Delta t}{T}
Beda fase dalam getaran harmonik dinyatakan dengan nilai mulai dari nol sampai dengan satu. Bilangan bulat dalam beda fase dapat dihilangkan, misalnya beda fase 2¼ ditulis sebagai beda fase ¼.

b. Kecepatan Getaran Harmonik

Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan simpangan.
v_{y}=\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(A \text{ sin }(\omega t+\theta _{0}))
v_{y}=\omega A\text{ cos }(\omega t+\theta _{0})
Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan maksimum (vmaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
vmaks = ω A

c. Percepatan Getaran Harmonik

Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan.
a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{d[\omega A\text{ cos }(\omega t+\theta _{0})]}{dt}=\omega A=\frac{d[\text{cos }(\omega t+\theta _{0})]}{dt}
ay = ω A [-ω sin (wt + θ 0)]
ay = -ω 2A sin (ω t + θ 0)
ay = -ω 2y
Karena nilai maksimum dari simpangan adalah sama dengan amplitudonya (y = A), maka percepatan maksimumnya (amaks) gerak harmonik sederhana adalah sebagai berikut.
amaks = –ω 2 A

Energi Getaran Harmonik

Benda yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah kedua energi ini disebut energi mekanik.

a. Energi Kinetik Gerak Harmonik

Cobalah kita tinjau lebih lanjut energi kinetik dan kecepatan gerak harmoniknya.
Karena Ek =½ mvy2 dan vy = A ω cos ω t, maka
E_{k}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega ^{2}\text{ cos}^{2}\text{ atau }E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2} \text{ cos}^{2}\omega t
Energi kinetik juga dapat ditulis dalam bentuk lain seperti berikut.
E_{k}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}(A^{2}-y^{2})\text{ atau }E_{k}=\frac{1}{2}k(A^{2}-y^{2})
Ek maks = \frac{1}{2}m ω2 A2, dicapai jika cos2 ω t = 1. Artinya, ω t harus bernilai \frac{\pi}{2}, \frac{\pi }{3}, …, dan seterusnya.
y = A cos ω t
y = A cos \frac{\pi}{2}
y = A (di titik setimbang)
Ek min = 0, dicapai bila cos2 ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan seterusnya.
y = A cos ω t
y = A cos 0
y = A (di titik balik)
Jadi, energi kinetik maksimum pada gerak harmonik dicapai ketika berada di titik setimbang. Sedangkan energi kinetik minimum dicapai ketika berada di titik balik.

b. Energi Potensial Gerak Harmonik

Besar gaya yang bekerja pada getaran harmonik selalu berubah yaitu berbanding lurus dengan simpangannya (F = ky). Secara matematis energi potensial yang dimiliki gerak harmonik dirumuskan sebagai berikut.
Ep = \frac{1}{2} ky2
Ep = \frac{1}{2} m ω 2 (A sin ω t)2
Ep = \frac{1}{2} m ω 2 A2 sin2 ω t
Ep maks = \frac{1}{2} m ω 2 Adicapai jika sin2 ω t = 1. Artinya ω t harus bernilai \frac{\pi}{2}, 3\frac{\pi}{2}, … , dan seterusnya
y = A sin \frac{\pi}{2}
y = A (di titik balik)
Ep min = 0, dicapai jika sin2 ω t = 0. Artinya, ω t harus bernilai 0, π , …, dan
seterusnya.
y = A sin ω t
y = A sin 0
y = 0 (di titik setimbang)

c. Energi Mekanik Gerak Harmonik

Energi mekanik sebuah benda yang bergerak harmonik adalah jumlah energi kinetik dan energi potensialnya.
E_{m}=\frac{1}{2}m\omega ^{2}A^{2}
Berdasarkan persamaan diatas, ternyata energi mekanik suatu benda yang bergetar harmonik tidak tergantung waktu dan tempat. Jadi, energi mekanik sebuah benda yang bergetar harmonik dimanapun besarnya sama.
Em = Ek maks = Ep maks
Em = \frac{1}{2} ω 2 A2 = \frac{1}{2} k A2
Energi Mekanik Gerak HarmonikKedudukan gerak harmonik sederhana pada saat Ep dan Ek bernilai maksimum dan minimum.

d. Kecepatan Benda yang Bergetar Harmonik

Untuk menghitung kecepatan maksimum benda atau pegas yang bergetar harmonik dapat dilakukan dengan menyamakan persamaan kinetik dan energi total mekaniknya dimana Ek = Em.
v_{m}=A\sqrt{\frac{k}{m}}
Sedangkan untuk menghitung kecepatan benda di titik sembarang dilakukan dengan menggunakan persamaan kekekalan energi mekanik










Contoh 1
Sebuah benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan
y = 0,04 sin 20π t
dengan y adalah simpangan dalam satuan meter, t adalah waktu dalam satuan sekon. Tentukan beberapa besaran dari persamaan getaran harmonis tersebut:
a) amplitudo
b) frekuensi
c) periode
d) simpangan maksimum
e) simpangan saat t = 1/60 sekon
f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
Pembahasan
Pola persamaan simpangan gerak harmonik diatas adalah
y = A sin ωt
ω = 2π f

atau
        2π
ω = _____
        T

a) amplitudo atau A
y = 0,04 sin 20π t

A = 0,04 meter

b) frekuensi atau f
y = 0,04 sin 20π t

ω = 20π

2πf = 20π
f = 10 Hz

c) periode atau T
T = 1/f
T = 1/10 = 0,1 s

d) simpangan maksimum atau ymaks
y = A sin ωt
y = ymaks sin ωt

y = 0,04 sin 20π t

y = ymaks sin ωt

ymaks = 0,04 m

(Simpangan maksimum tidak lain adalah amplitudo)

e) simpangan saat t = 1/60 sekon
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin 20π (1/60)
y = 0,04 sin 1/3 π
y = 0,04 sin 60° = 0,04 × 1/2√3 = 0,02 √3 m

f) simpangan saat sudut fasenya 45°
y = A sin ωt
y = A sin θ

dimana θ adalah sudut fase, θ = ωt

y = 0,04 sin θ
y = 0,04 sin 45° = 0,04 (0,5√2) = 0,02√2 m

g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin θ
0,02 = 0,04 sin θ
sin θ = 1/2
θ = 30°

Contoh 2
Diberikan sebuah persamaan simpangan gerak harmonik

y = 0,04 sin 100 t

Tentukan:
a) persamaan kecepatan
b) kecepatan maksimum
c) persamaan percepatan

Pembahasan
a) persamaan kecepatan
Berikut berurutan rumus simpangan, kecepatan dan percepatan:
y = A sin ωt
ν = ωA cos ω t
a = − ω2 A sin ω t

Ket:
y = simpangan (m)
ν = kecepatan (m/s)
a = percepatan (m/s2)

Dari y = 0,04 sin 100 t
ω = 100 rad/s
A = 0,04 m

sehingga:
ν = ωA cos ω t
ν = (100)(0,04) cos 100 t
ν = 4 cos 100 t

b) kecepatan maksimum
ν = ωA cos ω t
ν = νmaks cos ω t
νmaks = ω A

ν = 4 cos 100 t

νmaks = 4 m/s

c) persamaan percepatan
a = − ω2 A sin ω t
a = − (100)2 (0,04) sin 100 t
a = − 400 sin 100 t

Contoh 3
Sebuah beban bermassa 250 gram digantung dengan sebuah pegas yang memiliki kontanta 100 N/m kemudian disimpangkan hingga terjadi getaran selaras. Tentukan periode getarannya!

Pembahasan
Data:
k = 100 N/m
m = 250 g = 0,25 kg
T = .....

Dari rumus periode getaran sistem pegas:


Sehingga:


Contoh 4
Sebuah bandul matematis memiliki panjang tali 64 cm dan beban massa sebesar 200 gram. Tentukan periode getaran bandul matematis tersebut, gunakan percepatan gravitasi bumi g = 10 m/s2

Pembahasan
Periode ayunan sederhana:
Dari rumus periode getaran ayunan sederhana:


Sehingga:


Catatan:
Massa beban tidak mempengaruhi periode atau frekuensi dari ayunan sederhana (bandul matematis, conis).
Contoh 5
Dua buah pegas identik dengan kostanta masing-masing sebesar 200 N/m disusun seri seperti terlihat pada gambar berikut.


Beban m sebesar 2 kg digantungkan pada ujung bawah pegas. Tentukan periode sistem pegas tersebut!
Pembahasan
Gabungkan konstanta kedua pegas dengan susunan seri:



Contoh 6
Dua buah pegas dengan kostanta sama besar masing-masing sebesar 150 N/m disusun secara paralel seperti terlihat pada gambar berikut.



Tentukan besar periode dan frekuensi susunan tersebut, jika massa beban m adalah 3 kilogram!

Pembahasan
Periode susunan pegas paralel, cari konstanta gabungan terlebih dahulu:



Contoh 7
Sebuah benda yang massanya 200 gram bergetar harmonik dengan periode 0,2 sekon dan amplitudo 2 cm. Tentukan :
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total

Pembahasan



Data dari soal:
m = 200 g = 0,2 kg
T = 0,2 s → f = 5 Hz
A = 2 cm = 0,02 m = 2 x 10-2 m

a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
y = 1 cm = 0,01 m = 10-2 m
Ek = ....





b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm



c) besar energi total



Contoh 8
Tentukan besarnya sudut fase saat :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya

Pembahasan
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
Ek = Ep
1/2 mν2 = 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = sin2 ω t
cos ω t = sin ω t
tan ω t = 1
ωt = 45°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya saat sudut fasenya 45°

b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya

Ek = 1/3 Ep
1/2 mν2 =1/3 x 1/2 ky2
1/2 m (ω A cos ω t)2 = 1/3 x 1/2 mω2 (A sin ω t)2
1/2 m ω2 A2 cos2 ω t = 1/3 x 1/2 mω2 A2 sin2 ω t
cos2 ω t = 1/3 sin2 ω t
cos ω t = 1/√3 sin ω t
sin ω t / cos ω t = √3

tan ω t = √3
ω t = 60°

Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya saat sudut fasenya 60°

Contoh 9
Sebuah balok bermassa 0,5 kg dihubungkan dengan sebuah pegas ringan dengan konstanta 200 N/m. Kemudian sistem tersebut berosilasi harmonis. Jika diketahui simpangan maksimumnya adalah 3 cm, maka kecepatan maksimum adalah....
A. 0,1 m/s
B. 0,6 m/s
C. 1 m/s
D. 1,5 m/s
E. 2 m/s
(Seleksi Astronomi 2012)

Pembahasan
Data :
m = 0,5 kg
k = 200 N/m
ymaks = A = 3 cm = 0,03 m
vmaks = ......

Periode getaran pegas :
T = 2π √(m/k)
T = 2π √(0,5/200) = 2π√(1/400) = 2π (1/20) = 0,1 π sekon

vmaks = ω A

               2π
vmaks= ____ x A
                T

                 2π
vmaks = ______ x (0,03) = 0,6 m/s
              0,1 π

Contoh 10
Sebuah benda bermassa 50 gram bergerak harmonis sederhana dengan amplitudo 10 cm dan periode 0,2 s. Besar gaya yang bekerja pada sistem saat simpangannya setengah amplitudo adalah sekitar....
A. 1,0 N
B. 2,5 N
C. 4,8 N
D. 6,9 N
E. 8,4 N
(SPMB 2005)

Pembahasan
Data soal:
m = 50 gram = 50 × 10−3 kg
A = 10 cm = 0,1 m = 10−1 m
T = 0,2 s
y = 0,5 A
F = ......

Gaya pada gerak harmonis
F = mω2y
dengan:
ω = 2π/T = 2π / 0,2 = 10π rad/s
y = 0,5 A = 0,5(0,1) = 5 × 10−2
Sehingga:
F = (50 × 10−3)(10π)2(5 × 10−2) = 2,5 N

Contoh 11
Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 39,2 cm dan beban 200 gram



Jika percepatan gravitasi 9,8 m/s2 tentukan periode ayunan!

Pembahasan
Periode getaran pada bandul sederhana, ayunan sederhana:



Dimana
T= periode getaran (s)
l = panjang tali (m)
g = percepatan gravitasi (m/s2)

Sehingga



Contoh 12
Ayunan sederhana dengan panjang tali L = 0,4 m pada sebuah dinding seperti gambar berikut.



Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s2 perkirakan periode ayunan!

Pembahasan
Periode ayunan adalah setengah dari periode saat panjang tali sebesar L ditambah dengan setengah periode ayunan saat panjang tali sebesar 1/2 L





Sehingga

\text{Diketahui }\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}g\text{, maka }v_{y}=\pm \sqrt{(A^{2}-y^{2})}

5 comments: