BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Konsep aljabar
Aljabar merupakan cabang dari matematika yang saat ini menjadi alat untuk memecahkan masalah khususnya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kajian ini akan dibahas terlebih dahulu tentang definisi dari beberapa pendapat tentang aljabar sebelum mengkaji lebih jauh tentang operasi aljabar.
Menurut Usiskin ( Hobri,1995;98 ) memberikan empat konsep mengenai definisi aljabar berdasarkan pada tingkat kepentingan penggunaan variabel sebagai berikut :
1. Aljabar sebagai aritmatika yang digeneralisasikan. Pada konsep ini variabel dianggap sebagai rumus atau pola yang digeneralisasikan.
Contoh.
Untuk mengajar siswa tentang (x) (-y) = - (xy), perhatikan pola-pola di bawah ini ;
5 x (–1) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5
5 x (–2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10
5 x (–3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15
Dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa (x) (-y) = - (xy) untuk semua unsur x dan y.
2. Aljabar sebagai suatu prosedur atau cara untuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu, konsep ini berkenaan dengan penerjemahan bahasa sehari-hari kedalam bahasa matematika.
Contoh.
Ibu pergi ke pasar membawa uang Rp. 10.000,-.Ia membeli gula 4 Kg dan mendapat uang kembali Rp. 4.000,-. Berapa harga 1 Kg gula ?
Soal di atas bisa dinyatakan sebagai berikut :
Misalkan x adalah harga gula per kilogram, maka kalimat matematikanya adalah sebagai berikut ;
10.000 – 4x = 4.000
3. Aljabar sebagai suatu ilmu tentang kuantitas.
Contoh.
Simbol-simbol aljabar tentang konsep ini adalah rumus-rumus atau pola-pola tentang kuantitas ( misalnya volume luas daerah dan fungsi-fungsi matematis seperti y = 2x + 4 ).
4. Aljabar sebagai ilmu tentang struktur. Aljabar yang berkaitan dengan ini dikenal dengan aljabar abstrak atau struktur aljabar. Misalnya group.
Menurut Poerwadarminta ( 1990 : 49 ) menyatakan bahwa :
Aljabar adalah cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda dan huruf huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka.
Dari beberapa uraian di atas, maka materi aljabar yang akan dibahas adalah materi aljabar yang berkenaan dengan penggunaan variabel (peubah), baik berupa huruf-huruf atau lambang-lambang lainnya dengan menggunakan bilangan dan operasi bilangan untuk menyatakan ikatan antara satu dengan yang lainnya.
A.1. Operasi bilangan
A.1.1. Kaidah-kaidah operasi bilangan.
Bilangan-bilangan nyata atau riil memenuhi kaidah-kaidah tertentu apabila dioperasikan, operasi penjumlahan dan perkalian bilangan nyata /riil memenuhi kaidah-kaidah sebagai berikut :
1. Kaidah komutatif.
Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b, perubahan urutan antara keduanya tidak akan mengubah hasil penjumlahan.
a + b = b + a
Contoh
4 + 6 = 6 + 4
Hal yang sama berlaku juga untuk perkalian
a x b = b x a
Contoh
4 x 6 = 6 x4
2. Kaidah asosiatif
Dalam menjumlahkan tiga bilangan, a, b dan c atau lebih, perubahan dari pengelompokan bilangan-bilangan tersebut tidak akan mengubah hasil penjumlahan.
(a + b) + c = a + (b + c)
Contoh
(4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5)
begitu pula dalam hal perkalian
(a x b) x c = a x (b x c)
contoh
(4 x 6) x 5 = 4 x (6 x 5)
3. Kaidah pembatalan
Jika jumlah a dan c sama dengan jumlah b dan c, maka a sama dengan b dengan perkataan lain.
Jika a + c = b + c
Maka a = b
Jika hasil kali a dan c sama dengan hasil kali b dan c, dimana c adalah bilangan nyata bukan nol, maka a sama dengan b : jadi
Jika ac = bc (c ¹ 0)
Maka a = b
4. Kaidah distributif
Dalam perkalian bilangan a terhadap jumlah ( b + c), hasil kalinya adalah sama dengan jumlah hasil kali ab dan hasil kali ac dengan perkalian lain, hasil kali sebuah bilangan terhadap suatu penjumlahan adalah sama dengan jumlah hasil kali-hasil kalinya.
a (b + c) = ab + ac
Contoh
4 (6 + 5) = (4 x 6) + (4 x 5)
5. Unsur penyama
Unsur penyama dalam penjumlahan (pengurangan) adalah bilangan nol, sebab jumlah (selisih) antara suatu bilangan tertentu dan nol adalah bilangan itu sendiri.
a + 0 = a
Contoh
4 + 0 = 4
Unsur penyama dalam perkalian (pembagian) adalah bilangan satu, sebab hasil kali (hasil bagi) antara satu bilangan tertentu dan satu adalah bilangan itu sendiri.
a x 1 = a
Contoh
4 x 1 = 4
6. Lawan dan kebalikan
Setiap bilangan nyata mempunyai sebuah balikan perubahan (additive inverse): jumlah antara bilangan tertentu dan balikan penambahannya adalah sama dengan nol.
a + (-a) = 0
Contoh
4 + (-4) = 0
bilangan –4 disebut balikan penambahan dari 4 atau negatif dari 4 setiap bilangan nyata bukan nol mempunyai sebuah balikan pengali (multiplicative inverse) hasil kali bilangan tertentu terhadap balikan pengalian adalah sama dengan satu.
a x 
= 1
= 1Contoh
4 x 
= 1
= 1bilangan disebut balikan pengali dari 4
disebut balikan pengali dari 4A.1.2. Operasi Tanda
Dalam pengoperasian bilangan-bilangan , baru membahas bilangan-bilangan dengan satu macam tanda yakni positif. Bagaimana dengan operasi pada bilangan-bilangan bertanda negatif? Mari kita bahas operasi penjumlahan.
a. Jumlah dari dua bilangan positif (+a) dan (+b) adalah sebuah bilangan positif baru (+c) yang nilainya lebih besar.
(+a) + (+b) = (+c)
Contoh
(+4) + (+6) = (+10)
b. Jumlah dari dua bilangan negatif (-a) dan (-b) adalah sebuah bilangan negatif baru (-c) yang nilainya lebih kecil
(-a) + (-b) = (-c)
Contoh
(-3) + (-2) = (-5)
c. Jumlah dari dua bilangan positif (+a) dan bilangan negatif (-b) adalah bilangan positif (+c) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (-d) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b.
(+a) + (-b) = (+c) jika a > b
Contoh
(+9) + (-6) = (+3)
(+a) + (-b) = (-d) jika a < b
Contoh
(+9) + (-12) = (-3)
d. Jumlah dari bilangan negatif (-a) dan bilangan positif (+b) adalah bilangan positif (+c) jika harga mutlak a lebih kecil dari harga mutlak b, atau bilangan negatif (-d) jika harga mutlak a lebih besar dari harga mutlak b.
(-a) + (+b) = (+c) jika a < b
Contoh
(-4) + (+6) = (+2)
atau
(-a) + (+b) = (-d) jika b > b
Contoh
(-9) + (+6) = (-3)
e. Hasil kali antara dua bilangan positif (+a) dan (+b), serta antara dua bilangan negatif (-a) dan (-b) adalah sebuah bilangan positif (+c).
(+a) x (+b) = (+c) (-a) x (-b) = (+c)
Contoh : (+4) x (+6) = (+24) (-4) x (-6) = (+24)
f. Hasil kali antara dua bilangan yang berlainan tanda (+a) dan (-b), atau (-a) dan (+b) adalah sebuah bilangan negatif (-c).
(+a) x (-b) = (-c) (-a) x (+b) = (-c)
Contoh : (+4) x (-6) = (-24) (-4) x (+6) = (-24)
A.2. Operasi aljabar
Pada pembahasan ini akan dibahas tentang operasi aljabar yang berkaitan dengan penggunaan variabel/peubah, baik berupa huruf atau lambang lainnya dengan menggunakan operasi bilangan untuk menyatakan ikatan antara satu dengan yang lainnya yaitu operasi penjumlahan, pengurangan , dan perkalian.
Suku-suku sejenis adalah faktor-faktor dimana ( yang ) hurufnya sama semuanya. (Rusoni, 2001;324 ).
Sebagai contoh ;
Apa 2a dan 3ab suku sejenis ?
pada contoh ini terlihat bahwa 2a terdiri dari sebuah faktor angka yaitu 2 dan sebuah faktor huruf yaitu a. Faktor angka disebut koefisien dan faktor huruf disebut variabel/peubah. Sedangkan 3ab terdiri dari sebuah faktor angka yaitu 3 dan terdiri dari dua faktor huruf yaitu a dan b.
A.2.1. Operasi penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada suku-suku sejenis sering terjadi pada bentuk-bentuk persamaan dan pertidaksamaan serta fungsi baik linear, kuadrat dan polinom. Kajian atau pembahasan di sini akan diperlihatkan operasi aljabar tentang penjumlahan suku-suku sejenis yang terjadi pada beberapa bentuk persamaan yang tertuang dalam beberapa contoh berikut :
Contoh.
Sederhanakanlah !
4x + 3y + 3x + 2y
Penyelesaian.
Bentuk tersebut dapat disederhanakan menjadi
Þ 4x + 3x + 3y + 2y
Þ ( 4 + 3 ) x + ( 3 + 2 ) y
Þ 7x + 5y
jadi bentuk sederhana dari 4x + 3y + 3x + 2y adalah 7x + 5y. Dari contoh ini suku-suku sejenisnya adalah :
4x dengan 3x
3y dengan 2y
Untuk penjelasan contoh selanjutnya tidak perlu disebutkan satu persatu dari suku-suku sejenis pada persamaannya, cukup/hanya proses penghitungan operasinya saja.
Contoh 1.
Sederhanakanlah !
a. 2x2 + 4x + 3x2 + 6y + 8x + x2
b. 3ab + 6p – 2r + ab + 4r – 8p
c. 2x2 – 6x + 3y – 4x2 – 4y + 20x – 8 + x
Penyelesaian.
a. 2x2 + 4x + 3x2 + 6y + 8x + x2
Þ 2x2 + 3x2 + x2 + 4x + 6y + 8x
Þ 2x2 + 3x2 + x2 + 4x + 8x + 6y
Þ ( 2 + 3 + 1 ) x2 + ( 4 + 8 ) x + 6y
Þ 6x2 + 12x + 6y
b. 3ab + 6p – 2r + ab + 4r – 8p
Þ 3ab + ab + 6p – 8p – 2r + 4r
Þ ( 3 + 1 ) ab + ( 6 – 8 ) p + (–2 + 4 ) r
Þ 4ab + (-2) p + 2r
Þ 4ab – 2p + 2r
c. 2x2 – 6x + 3y – 4x2 – 4y + 20x – 8 + x
Þ 2x2 – 4x2 – 6x + 20x + x + 3y – 4y – 8
Þ ( 2 – 4 ) x2 + ( -6 + 20 + 1 ) x + ( 3 – 4 ) y – 8
Þ -2x2 + 15x + (-1) y – 8
Þ -2x2 + 15x – y – 8
Contoh 2.
a. Hitunglah penjumlahan antara 2x2 + 3x + 4y + 2 dengan 3x + x2 + 2y2 + 4 + 6y.
b. Hitunglah penjumlahan antara 3x2 + 4 + 16x dengan 3 + 4x2 + 6x
c. Kurangkanlah antara 3a2 – 3 – 3x – 12a dengan 4 – 10a2 – 4x – 6a
d. Kurangkanlah antara 4x – 12x2 – 2 dengan 3x2 – 3 – 12x
e. Kurangkanlah antara 3x2 + 4x – 2 dengan – 3x – 2x2 + 3
Penyelesaian
a. ( 2x2 + 3x + 4y + 2 ) + ( 3x + x2 + 2y2 + 4 + 6y )
Þ ( 2 + 1 ) x2 + ( 3 + 3 ) x + ( 2 + 4 ) + ( 4 + 6 ) y + 2y2
Þ 3x2 + 6x + 6 + 10y + 2y2
b. 3x2 + 4 + 16x + 3 + 4x2 + 6x
Þ ( 3 + 4 ) x2 + ( 16 + 6 ) x + ( 4 + 3 )
Þ 7x2 + 22x + 7
c. 3a2 – 3 – 3x – 12a – (4 – 10a2 – 4x – 6a )
Þ 3a2 – 3 – 3x – 12a + 4 + 10a2 + 4x + 6a
Þ ( 3 + 10 ) a2 + (– 12 + 6 ) a + (– 3 + 4 ) x + (– 3 + 4 )
Þ 13a2 – 6a + x + 1
d. 4x – 12x2 – 2 – (3x2 – 3 – 12x )
Þ 4x – 12x2 – 2 – 3x2 + 3 + 12x
Þ (–12 – 3 ) x2 + ( 4 + 12 ) x + (– 2 + 3 )
Þ – 15x2 + 16 x + 1
e. 3x2 + 4x – 2 – ( – 3x – 2x2 + 3 )
Þ 3x2 + 4x – 2 + 3x + 2x2 – 3
Þ ( 3 + 2 ) x2 + ( 4 + 3 ) x + (– 2 – 3 )
Þ 5x2 + 7x – 5
A.2.2. Operasi perkalian pada bilangan bervariabel dan suku dua
Operasi perkalian pada bilangan bervariable, baik antara perkalian bilangan bulat dengan bilangan bervariabel atau perkalian suku dua tetap menggunakan kaidah-kaidah operasi bilangan dan operasi tanda.
Selanjutnya, untuk memperjelas tentang operasi perkalian pada bilangan bervariabel, akan diberikan contoh - contoh berikut ini :
Contoh.1
Sederhanakanlah !
a. 5 ( 2x + 6y )
b. ( 2a – b ) 3c
c. ( x – 2 ) ( x + 3 )
Penyelesaian
a. 5 ( 2x + 6y )
Þ 10x + 30y
b. ( 2a – b ) 3c
Þ 6ac – 3bc
c. ( x – 2 ) ( x + 3 )
Þ x . x + 3 . x + (–2) . x + (–2 ) . 3
Þ x2 + 3x – 2x – 6
Þ x2 + x – 6
Contoh 2
Sederhanakanlah !
a. 3x ( 2 – x ) – ( x – 1 ) ( x – 2 )
b. a ( b – 4 ) + ( 3a – b ) 3a – ( a – 1 ) (a + 1 )
Penyelesaian
a. 3x ( 2 – x ) – ( x – 1 ) ( x – 2 )
Þ 6x – 3x2 – ( x2 – 2x – x + 2 )
Þ 6x – 3x2 – ( x2 – 3x + 2 )
Þ 6x – 3x2 – x2 + 3x – 2
Þ 6x + 3x – 3x2 – x2 – 2
Þ 9x – 4x2 – 2
b. a ( b – 4 ) + ( 3a – b ) 3a – ( a – 1 ) (a + 1 )
Þ ab – 4a + ( 9a2 – 3ab ) – ( a2 + a – a – 1 )
Þ ab – 4a + 9a2 – 3ab – ( a2 – 1 )
Þ ab – 4a + 9a2 – 3ab – a2 + 1
Þ ab – 3ab + 9a2 – a2 – 4a + 1
Þ – 2ab + 8a2 – 4a + 1
Þ 8a2 – 2ab – 4a + 1
B. Fungsi Kuadrat
B.1. Notasi fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B ( hanya satu kali dengan anggota B ). Fungsi tersebut dapat ditulis dengan notasi f : A ® B ( dibaca : fungsi f memetakkan A ke B ). Jika suatu fungsi f memetakkan setiap xÎ A ke y Î B maka ditulis " f : x ® y " dan persamaan fungsinya adalah "f(x) = y " atau " y = f(x) ".
Pada fungsi di atas, x sebagai anggota domain dan y sebagai peta (bayangan) x oleh f. Himpunan semua peta membentuk daerah hasil (range) atau daerah nilai ( Daiman, 1994;45 ).
Menurut Soemona ( 1992;48 ) bahwa fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut :
" Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah perkawanan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B ".
Himpunan x dinamai domain fungsi f dan diberi simbol D (f) atau Df. Himpunan y dinamai range fungsi f dan diberi simbol R (f) atau Rf.
Penjelasan.
a. Fungsi f dapat dituliskan sebagai f = í( x,y ) ½y = 2x2 – 4 ý
Dikatakan fungsi f didefinisikan dengan rumus y = 2x2 – 4 , yang dinamai rumus fungsi f.
x dinamai variabel bebas dan y dinamai variabel tak bebas.
b. Biasanya fungsi f yang didefinisikan dengan rumus y = 2x2 – 4 disebut dengan singkat sebagai fungsi y = 2x2 – 4 atau fungsi f (x) = 2x2 – 4. Dan apa artinya f (x) ?
f (x ) adalah peta dari x oleh pemetaan f
f : x ® 2x2 – 4
f (x) = 2x2 – 4
c. Jika suatu fungsi dinyatakan dengan f (x) = 2x2– 4 , yang dimaksud dengan f (2) adalah nilai fungsi f untuk x = 2.
Jadi f (2) = 2 (2)2 – 4
= 4
f (0) = 2 (0)2 – 4
= –4
f (a) = 2 (a)2 – 4
= 2a2 – 4
f (2x) = 2 (2x)2 – 4
= 8 x2 – 4
B.2. Fungsi kuadrat
B.2.1. Definisi
Definisi tentang fungsi kuadrat menurut beberapa pendapat sebagai berikut :
Menurut Daiman ( 1994;47 ) ;
Suatu fungsi dengan domain R ( himpunan bilangan real ) yang ditentukan dengan f (x) = ax2 + bx + c ; a,b,c Î R dan a ¹ 0 disebut fungsi kuadrat ( fungsi berderajat dua ). f (x) = ax2 + bx + c dinamakan rumus ( persamaan ) fungsi kuadrat.
Menurut Dumairy ( 1991;126 ) ;
Mengingat pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variabel x maupun variabel y, bahkan pada suku xy (jika ada), maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah :
ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0
( setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama dengan nol ).
Menurut Wirodikromo ( 1995;78 ) ;
Sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan rumus f (x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c bilangan real dan a ¹ 0
B.2.2. Pengerjaan ( operasi ) pada fungsi
Pengerjaan ( operasi ) hitung pada bilangan real yaitu : penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan penarikan akar. Pengerjaan hitung ini dapat juga dikerjakan pada fungsi sehingga menghasilkan fungsi baru. Pengerjaan pada fungsi didefinisikan sebagai berikut :
Misal diketahui dua fungsi ; f (x) = ax2 + bx + c dan g (x) = px2 + qx + r ,dengan a,b,c,p,q,r bilangan real dan a ¹ 0 dan p ¹ 0, maka ;
a. Jumlah dua fungsi, ditulis f + g adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f + g ) (x) = f (x) + g (x).
b. Selisih dua fungsi, ditulis f – g adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f – g ) (x) = f (x) – g (x).
c. Hasil kali dua fungsi, ditulis f · g adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f ·g ) (x) = f (x) · g (x).
d. Hasil bagi dua fungsi, ditulis 
adalah fungsi yang didefinisikan sebagai () (x) = 
kecuali untuk nilai x, sehingga g (x) = 0
adalah fungsi yang didefinisikan sebagai () (x) = kecuali untuk nilai x, sehingga g (x) = 0e. Pangkat n sebuah fungsi, ditulis fn adalah fungsi yang didefinisikan sebagai fn = 
Catatan ;
Jika terdapat lebih dari dua fungsi yang dioperasikan maka ;
a. Jumlah lebih dari dua fungsi , ditulis f + g + h + .. adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f + g + h + … ) (x) = f (x) + g (x) + h(x) + ….
b. Selisih lebih dari dua fungsi, ditulis f – g – h – … adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f – g – h – ..) (x) = f (x) – g (x) – h(x) – ….
c. Hasil kali lebih dari dua fungsi, ditulis f · g · h·…. adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f · g · h · …) (x) = f (x) · g (x) ·h(x) · …..
B.2.3. Menentukan range suatu fungsi kuadrat
Dari uraian di atas diperlihatkan bahwa dalam suatu fungsi terdapat beberapa hal yaitu adanya domain ( daerah asal ), range ( daerah hasil ) dan kodomain ( daerah kawan ).Dalam menentukan range dari suatu fungsi khususnya fungsi kuadrat perlu diketahui nilai domain terlebih dahulu dan rumus fungsi kuadratnya, seperti diperlihatkan dalam contoh-contoh sebagai berikut :
Contoh.1
Diketahui fungsi f : R ® R dengan f (x) = 2x2 + x + 2.
Tentukanlah :
a. Range jika Df = { x | - 1 £ x £ 3 , x Îbilangan bulat }
b. Peta dari 2a
Penyelesaian.
a. x = -1 maka f (-1) = 2 (-1)2 + (-1) + 2
= 3
x = 0 maka f (0) = 2 (0)2 + (0) + 2
= 2
x = 1 maka f (1) = 2 (1)2 + 1 + 2
= 5
x = 2 maka f (2) = 2 (2)2 + 2 + 2
= 12
x = 3 maka f (3) = 2 (3)2 + 3 + 2
= 23
jadi range dari fungsi kuadrat di atas adalah { 2,3,5,12,23 }.
b. x = 2a maka f (x) = 2 (2a)2 + 2a + 2
= 8a2 + 2a + 2
Contoh 2.
Diketahui suatu fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = x2 + 3 , g (x) = 4x2 + 2x + 1, dan h (x) = 3x + x2. Tentukan ;
a. Range dari fungsi s (x) = f (x) + g (x) jika domainnya 3
b. Range dari fungsi t (x) = f (x) + g (x) + h(x) jika domainnya 6
Penyelesaian
a. s (x) = f (x) + g (x)
= x2 + 3 + ( 4x2 + 2x + 1)
= x2 + 3 + 4x2 + 2x + 1
= x2 + 4x2 + 2x + 3 + 1
= ( 1 + 4 ) x2 + 2x + ( 3 + 1 )
= 5x2 + 2x + 4
x = 3 maka s (3) = 5(3)2 + 2(3) + 4
= 55
b. t (x) = f (x) + g (x) + h(x)
= x2 + 3 + ( 4x2 + 2x + 1) + (3x + x2 )
= x2 + 3 + 4x2 + 2x + 1 + 3x + x2
= ( 1 + 4 + 1 ) x2 + ( 2 + 3 )x + ( 3 + 1 )
= 6x2 + 5x + 4
x = 6 maka t (6) = 6x2 + 5x + 4
= 6 (6)2 + 5 (6) + 4
= 216 + 30 + 4
= 250
Contoh 3.
Diketahui suatu fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = 2x2 + 3 + x dan g (x) = 7x2 – 3x + 1. Jika s (x ) = f (x) – g (x). Tentukanlah :
a. Range dari fungsi s (x) jika domainnya 3
b. Rs jika domainnya 4a
Penyelesaian
s (x) = f (x) – g (x)
= 2x2 – 3 + x – 7x2 + 3x + 1
= ( 2 – 7 ) x2 + ( 1 + 3 ) x + (–3 + 1 )
= –5x2 + 4x – 2
Contoh 4.
Diketahui fungsi m(x) = 4 – x dan n(x) = 12x – 6 , Tentukan range dari k(x) = m(x) . n(x) dengan Dk = {x | x = –3 }
Penyelesaian
k(x) = m(x) . n(x)
= (4 – x ) (12x – 6 )
= 4 ( 12x ) + 4 (– 6) + (–x) (12x) + (–x) (–6)
= 48x – 24 – 12x2 + 6x
= – 12x2 + ( 48 + 6 ) x – 24
= – 12x2 + 54x – 24
C. Analisa teoritis pengaruh konsep operasi bentuk aljabar terhadap kemampuan menentukan range dari suatu fungsi kuadrat.
Bertitik tolak dari pembahasan tentang konsep operasi bentuk aljabar dan fungsi kudrat tersebut, maka analisa teoritis pengaruh kedua variabel tersebut adalah :
" adanya pengaruh antar kedua variabel yang ditunjukkan oleh pemakaian konsep operasi bentuk aljabar pada fungsi kuadrat khususnya dalam menentukan range dari suatu fungsi kuadrat itu. Hal ini nampak pada contoh-contoh penyelesaian di atas ".
Analisa teoritis pengaruh kedua variabel ini akan diperlihatkan pada contoh berikut ini :
1. Jumlah lebih dari dua fungsi, ditulis f + g + h + … adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f + g + h + ..) (x) = f (x) + g (x) + h(x) + ….
Contoh.
Diketahui suatu fungsi kuadrat yang didefinisikan oleh f (x) = x2 + 3 dan g (x) = 4x2 + 2x + 1. Jika s (x ) = f (x) + g (x). Tentukanlah :
a. Range dari fungsi s (x) jika domainnya 3
b. Rs jika domainnya 4a
c. Nilai pada rumus fungsi baru soal (b) jika a = 1
Penyelesaian
s (x) = f (x) + g (x)
= x2 + 3 + ( 4x2 + 2x + 1)
= x2 + 3 + 4x2 + 2x + 1
= ( 1 + 4 )x2 + 2x + (3 + 1) ( Penjumlahan suku-suku sejenis )
= 5x2 + 2x + 4
a. x = 3 maka s (3) = 5(3)2 + 2(3) + 4
= 55
b. x = 4a maka s (4a) = 5(4a)2 + 2(4a) + 4
= 80a2 + 8a + 4
c. a = 1 maka 80a2 + 8a + 4
= 80(1)2 + 8(1) + 4
= 92
2. Selisih lebih dari dua fungsi, ditulis f – g – h – ….adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f – g – h – ….. ) (x) = f (x) – g (x) – h (x) – ……..
Contoh.
Jika fungsi kuadrat yang didefinisikan oleh r(a) = 2a2 – a – 1 , s(a) = 16a – 2a2 – 12 , dan t(a) = a – 13a2 – 4 , Tentukan range pada fungsi v (a) = t(a) – r(a) – s(a) jika domainnya 4
Penyelesaian
v (a) = t(a) – r(a) – s(a)
= a – 13a2 – 4 – (2a2 – a – 1 ) – (16a – 2a2 – 12 )
= a – 13a2 – 4 – 2a2 + a + 1 – 16a + 2a2 + 12
= ( 13 – 2 + 2 ) a2 + ( 1 + 1 – 16 ) a + (– 4 + 1 + 12 )
= 13a2 – 14a + 9
a = 4 maka 13a2 – 14a + 9
= 13 (4)2 – 14 (4) + 9
= 208 – 56 + 9
= 161
Jadi range fungsi v adalah 161
3. Hasil kali lebih dari dua fungsi, ditulis f · g · h ·…. adalah adalah fungsi yang didefinisikan sebagai ( f · g · h · …) (x) = f (x) · g (x) · h(x) · …..
Contoh
Jika suatu fungsi di definisikan oleh f (x) = 2x – 1 , g(x) = 4x + 9 , Tentukan range pada fungsi j (x) = f(x) . g(x) jika domainnya –2 dan 3
Penyelesaian
j (x) = f(x) . g(x)
= ( 2x – 1 ) ( 4x + 9 ) ( perkalian fungsi )
= 2x ( 4x ) + 2x ( 9 ) + (–1) (4x) + (–1) (9)
= 8x2 + 18x – 4x – 9
= 8x2 + (18 – 4 ) x – 9
= 8x2 + 14x – 9
x = –2 maka 8x2 + 14x – 9
= 8 (–2)2 + 14 (–2) – 9
= 32 – 28 – 9
= – 5
x = 3 maka 8x2 + 14x – 9
= 8 (3)2 + 14 (3) – 9
= 72 + 42 – 9
= 105
Jadi Rj adalah – 5 dan 105
Dari uraian pada contoh-contoh di atas nampak bahwa secara teoritis bahwa konsep operasi bentuk aljabar mempengaruhi terhadap penyelesaian soal-soal fungsi kuadrat khususnya dalam menentukan range dari suatu fungsi.
0 coment�rios: