Gelombang berjalan dan gelombang tegak serta contoh soal

Make You Smarter - Gelombang Berjalan dan Gelombang Stasioner, Persamaan Umum, Rumus, Pengertian, Contoh Soal, Kunci Jawaban, Amplitudo.

1. Pengertian Gelombang Berjalan

Gelombang berjalan adalah gelombang yang amplitudonya tetap. Pada sebuah tali yang panjang diregangkan di dalam arah x di mana sebuah gelombang transversal sedang berjalan. Pada saat t = 0, bentuk tali dinyatakan:

y = f (x) ............................................................... (1)

dengan y adalah pergeseran transversal tali pada kedudukan x. Bentuk gelombang tali yang mungkin pada t = 0 ditunjukkan pada Gambar 1(a).

Gambar 1. Bentuk sebuah tali yang direnggangkan (a) pada t = 0 (b) pada x=vt.

Pada waktu t gelombang tersebut berjalan sejauh vt ke kanan, dengan v menunjukkan besarnya kecepatan gelombang, yang dianggap konstan.

Maka persamaan kurva pada waktu t adalah:

y = f (x – vt) .................................................... (2)

Persamaan (2) adalah persamaan umum yang menyatakan sebuah gelombang yang berjalan ke kanan, di mana x akan semakin besar dengan bertambahnya waktu, dan secara grafis ditunjukkan pada Gambar 1(b). Apabila kita ingin menyatakan sebuah gelombang yang berjalan ke kiri, maka:

y = f (x + vt) ........................................................ (3)

Untuk sebuah fase khas dari sebuah gelombang yang berjalan ke kanan berlaku:

x – vt = konstan

Maka dari diferensiasi terhadap waktu akan diperoleh:

(dx/dt) - v = 0 atau (dx/dt) - v ......................................... (4)

Dengan v adalah kecepatan fase gelombang. Untuk gelombang yang berjalan ke kiri kita memperoleh kecepatan fase gelombang adalah -v.

Persamaan gelombang tali pada waktu t = 0 dinyatakan:

y = A sin (2π/λ)x ...................................................... (5)

Bentuk gelombang tersebut adalah sebuah kurva sinus, ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Kurva sinus pada gelombang tali.

Pergeseran maksimum, A, adalah amplitudo kurva sinus tersebut. Nilai pergeseran transversal y adalah sama di x seperti di x + λ , x + 2λ , dan sebagainya. Panjang gelombang λ menyatakan jarak di antara dua titik yang berdekatan di dalam gelombang tersebut yang berfase sama. Jika gelombang tersebut bergerak ke kanan dengan kecepatan fase v, maka persamaan gelombang tersebut pada waktu t adalah:

y = A sin (2π/λ) ((x − vt) .............................................. (6)

Waktu yag diperlukan gelombang untuk menempuh satu panjang gelombang (λ) disebut periode (T), sehingga:

λ = v .T ............................................................... (7)

Dengan mensubstitusikan persamaan (7) ke persamaan (5), maka akan diperoleh:

y = Asin2π ((x/λ) - (t/T)) ......................................... (8)

Pada konsep gelombang berlaku suatu bilangan gelombang (wave number), k dan frekuensi sudut (ω), yang dinyatakan:

k = 2π/λ dan ω = 2π/T .......................................... (9)

Sehingga, dari persamaan (8) akan diperoleh:

y = A sin (kx – ωt) .............................................. (10)

Persamaan tersebut berlaku untuk gelombang sinus yang berjalan ke kanan (arah x positif ). Sementara itu, untuk arah x negatif berlaku:

y = A sin (kx + ωt) .............................................. (11)

Dari persamaan (7) dan persamaan (9), akan diperoleh nilai kecepatan fase (v) dari gelombang adalah:

v = λ/T = ω/k ........................................................ (12)

Persamaan (10) dan (11) menunjukkan pergeseran y adalah nol pada kedudukan x = 0 dan t = 0. Pernyataan umum sebuah deret gelombang sinusoida yang berjalan ke kanan adalah:

y = Asin(kx −ωt −φ) ........................................... (13)

Dengan φ adalah konstanta fase. Jika φ = -90^o, maka pergeseran y_m di x = 0 dan t = 0 adalah ym, yang dinyatakan:

y = Acos( kx −ωt ) .............................................. (14)

Hal ini disebabkan fungsi cosinus digeser 90^o dari fungsi sinus. Jika sebuah titik pada tali berlaku x = π/k , maka pergeseran di titik tersebut adalah:

y = A sin(ωt + φ) ................................................ (15)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa setiap elemen khas dari tali tersebut mengalami gerak harmonis sederhana di sekitar kedudukan kesetimbangannya pada waktu gelombang berjalan sepanjang tali tersebut.

Contoh Soal 1 : 

Persamaan gelombang berjalan pada seutas tali dinyatakan dengan y = 0,02 sin (20 π t – 0,2 π x). Jika x dan y dalam cm dan t dalam sekon,

tentukan:

a. amplitudo, d. bilangan gelombang, dan

b. panjang gelombang, e. frekuensi gelombang!

c. kelajuan perambatan,

Kunci Jawaban / Pembahasan :

Persamaan umum gelombang y, seperti yang diperlihatkan pada persamaan (10) adalah:

y = y_m sin(kx−ωt)

y = -y_m sin(ωt − kx )

diberikan:

Jadi,

a. Amplitudo, A = 0,02 cm

b. Panjang gelombang (λ),

k = 2π/λ ↔ λ = 2π /k = 2π/0,2π = 10 cm

c. Kelajuan perambatan (v)

v = ω/k = 2π/0,2π = 10 cm

d. Bilangan gelombang (k),

k = 2π/λ = 2π/10 = 0,2 π

e. Frekuensi ( f ),

ω = 2πf

20 π = 2 π f

f = 20π/2π = 10 Hz

2. Pengertian Gelombang Stasioner

Gelombang stasioner disebut juga gelombang berdiri atau gelombang tegak, merupakan jenis gelombang yang bentuk gelombangnya tidak bergerak melalui medium, namun tetap diam. Gelombang ini berlawanan dengan gelombang berjalan atau gelombang merambat, yang bentuk gelombangnya bergerak melalui medium dengan kelajuan gelombang. Gelombang diam dihasilkan bila suatu gelombang berjalan dipantulkan kembali sepanjang lintasannya sendiri. Amplitudo gelombang ini berubah-ubah sesuai posisinya.

Pada dua deret gelombang dengan frekuensi sama, memiliki kelajuan dan amplitudo yang sama, berjalan di dalam arah-arah yang berlawanan sepanjang sebuah tali, maka persamaan untuk menyatakan dua gelombang tersebut adalah:

y₁ = A sin (kx −ωt )

y₂ = A sin (kx +ωt )

Resultan kedua persamaan tersebut adalah:

y = y₁ + y₂ = A sin (kx − ωt ) + A sin (kx + ωt ) ....... (16)

Dengan menggunakan hubungan trigonometrik, resultannya menjadi:

y = 2A sin kx cosωt ......................................... (17)

Persamaan (17) adalah persamaan sebuah gelombang tegak (standing wave). Ciri sebuah gelombang tegak adalah kenyataan bahwa amplitudo tidaklah sama untuk partikel-partikel yang berbeda-beda tetapi berubah dengan kedudukan x dari partikel tersebut. Amplitudo (persamaan (17)) adalah 2 y_m sin kx, yang memiliki nilai maksimum 2 ym di kedudukan-kedudukan di mana:

kx = π/2, 3π/2, 5π/2, dan seterusnya

atau x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, dan seterusnya

Titik tersebut disebut titik perut, yaitu titik-titik dengan pergeseran maksimum. Sementara itu, nilai minimum amplitudo sebesar nol di kedudukan-kedudukan di mana:

kx = π , 2π , 3π, dan seterusnya

atau x = λ/2, λ, 3λ/2, λ dan seterusnya

Titik-titik tersebut disebut titik simpul, yaitu titik-titik yang pergeserannya nol. Jarak antara satu titik simpul dan titik perut berikutnya yaitu seperempat panjang gelombang.

a. Gelombang Stasioner pada Ujung Tali Tetap

Gambar 3. menunjukkan refleksi sebuah pulsa gelombang pada tali dengan ujung tetap.

Gambar 3. Refleksi sebuah pulsa di ujung tetap sebuah tali.

Ketika sebuah pulsa sampai di ujung, maka pulsa tersebut mengarahkan semua gaya yang arahnya ke atas pada penopang, maka penopang memberikan gaya yang sama tapi berlawanan arahnya pada tali tersebut (menurut Hukum III Newton). Gaya reaksi ini menghasilkan sebuah pulsa di penopang, yang berjalan kembali sepanjang tali dengan arah berlawanan dengan arah pulsa masuk. Dapat dikatakan bahwa pulsa masuk direfleksikan di titik ujung tetap tali, di mana pulsa direfleksikan kembali dengan arah pergeseran transversal yang dibalik. Pergeseran di setiap titik merupakan jumlah pergeseran yang disebabkan oleh gelombang masuk dan gelombang yang direfleksikan.

Karena titik ujung tetap, maka kedua gelombang harus berinterferensi secara destruktif di titik tersebut sehingga akan memberikan pergeseran sebesar nol di titik tersebut. Maka, gelombang yang direfleksikan selalu memiliki beda fase 180^o dengan gelombang masuk di batas yang tetap.

Dapat disimpulkan, bahwa ketika terjadi refleksi di sebuah ujung tetap, maka sebuah gelombang mengalami perubahan fase sebesar 180^o. Hasil superposisi gelombang datang (y₁), dan gelombang pantul (y₂), pada ujung tetap, berdasarkan persamaan (17) adalah:

y = 2A sin kx cosωt

y = A_p cosωt ...................................................... (18)

A_p = 2A sin kx ...................................................... (19)

b. Gelombang Stasioner pada Ujung Tali Bebas

Refleksi sebuah pulsa di ujung bebas pada sebuah tali yang diregangkan terlihat pada Gambar 4.

Gambar 4.Refleksi sebuah pulsa di ujung bebas sebuah tali yang direnggangkan.

Pada saat pulsa tiba di ujung bebas, maka pulsa memberikan gaya pada elemen tali tersebut. Elemen ini dipercepat dan inersianya mengangkut gaya tersebut melewati titik kesetimbangan. Di sisi lain, gaya itu juga memberikan sebuah gaya reaksi pada tali. Gaya reaksi ini menghasilkan sebuah pulsa yang berjalan kembali sepanjang tali dengan arah berlawanan dengan arah pulsa yang masuk. Dalam hal ini refleksi yang terjadi adalah di sebuah ujung bebas.

Pergeseran maksimum partikel-partikel tali akan terjadi pada ujung bebas tersebut, di mana gelombang yang masuk dan gelombang yang direfleksikan harus berinterferensi secara konstruktif. Maka, gelombang yang direfleksikan tersebut selalu sefase dengan gelombang yang masuk di titik tersebut. Dapat dikatakan, bahwa pada sebuah ujung bebas, maka sebuah gelombang direfleksikan tanpa perubahan fase.

Jadi, sebuah gelombang tegak yang terjadi di dalam sebuah tali, maka akan terdapat titik simpul di ujung tetap, dan titik perut di ujung bebas. Hasil superposisi gelombang datang dan gelombang pantul pada ujung bebas adalah:

y = y₁ + y₂

dengan:

y₁ = A sin (kx –ωt) dan y₂ = -A sin (kx +ωt)

maka:

y =[A sin (kx −ωt )− sin (kx +ωt )]

y = 2A cos kx sin ωt ......................................... (20)

y = A_p sin ωt ...................................................... (21)

A_p = 2A cos k x .................................................... (22)

Seutas tali panjangnya 80 cm direntangkan horizontal. Salah satu ujungnya digetarkan harmonik naik-turun dengan frekuensi 1/4 Hz dan amplitudo 12 cm, sedang ujung lainnya terikat. Getaran harmonik tersebut merambat ke kanan sepanjang kawat dengan cepat rambat 3 cm/s. Tentukan amplitudo gelombang hasil interferensi di titik yang berjarak 53 cm dari titik asal getaran!

Kunci Jawaban / Penyelesaian:

Diketahui: 

l = 80 cm

f = 1/4 Hz

A= 12 cm

v = 3 cm/s

x = (80 – 53) cm = 27 cm

Untuk menentukan amplitudo gelombang stasioner As dengan persamaan:

A_s = 2A sin kx

λ = v/f = 3/(1/4) = 12 cm

k = 2π/λ = (2π/12) cm-1

A_s = 2(12) sin (2π/12) (27)

A_s = 24 sin 4,5 π = 24 × 1 = 24 cm