HUKUM KEPPLER TENTANG GERAK PLANET DAN CONTOH SOAL

Hukum Kepler dan Gerak Planet

Make You Smarter - Manusia telah mengamati pergerakan planet-planet, bintang, dan benda-benda langit lainnya selama ribuan tahun. Dalam sejarah awal, pengamatan ini menyebabkan para ilmuwan menganggap bumi sebagai pusat alam semesta. Model geosentris dielaborasi dan diresmikan oleh Astronom Yunani Claudius Ptolemy (c. 100-c. 170) pada abad kedua dan diterima untuk 1400 tahun ke depan. Pada 1543, astronom Polandia Nicolaus Copernicus (1473-1543) mengemukakan bahwa Bumi dan planet-planet lain berputar dalam orbit melingkar di sekitar Matahari (model heliosentris).

Astronom Denmark Tycho Brahe (1546-1601) ingin menentukan bagaimana langit dibangun dan mengejar proyek untuk menentukan posisi dari kedua bintang dan planet. Semua pengamatan planet-planet dan 777 bintang yang terlihat dengan mata telanjang dilakukan dengan hanya sekstan besar dan kompas. (Teleskop belum ditemukan.)

Astronom Jerman Johannes Kepler adalah asisten Brahe untuk sementara waktu sebelum kematiannya Brahe, dimana ia memperoleh data astronomi mentornya dan menghabiskan 16 tahun mencoba untuk menyimpulkan sebuah model matematika untuk gerakan planet. Data tersebut sulit untuk dipilah-pilah karena pergerakan planet yang diamati dari Bumi yang bergerak. Setelah banyak perhitungan yang melelahkan, Kepler menemukan bahwa data Brahe pada revolusi Mars sekitar Matahari menyebabkan model yang sukses.

Analisis lengkap Kepler tentang gerak planet diringkas dalam tiga pernyataan yang dikenal sebagai hukum Kepler:
1. Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari pada satu fokus.
2. Jari-jari vektor ditarik dari Matahari ke planet menyapu daerah yang sama dalam interval waktu yang sama.
3. Kuadrat dari periode orbit planet manapun sebanding dengan pangkat tiga sumbu semimajor orbit elips.

Hukum Pertama Kepler
Kita sudah akrab dengan orbit lingkaran benda di sekitar pusat gaya gravitasi dari diskusi kita dalam bab ini. Hukum pertama Kepler menunjukkan bahwa orbit lingkaran adalah kasus yang sangat khusus dan orbit elips adalah situasi umum. Gagasan ini sulit bagi para ilmuwan dari waktu untuk menerimanya karena mereka percaya bahwa orbit lingkaran sempurna dari planet mencerminkan kesempurnaan surga.

Gambar 13.4 menunjukkan geometri elips, yang berfungsi sebagai model kita untuk orbit elips planet. Elips secara matematis didefinisikan dengan memilih dua titik F₁ dan F₂, yang masing-masing disebut fokus, dan kemudian menggambar kurva melalui titik dimana jumlah jarak r₁ dan r₂ dari F₁ dan F₂, masing-masing adalah konstan. Jarak terpanjang melalui pusat antara titik pada elips (dan melewati setiap fokus) disebut sumbu utama, dan jarak ini adalah 2a. Dalam Gambar 13.4, sumbu utama ditarik sepanjang arah x. Jarak yang disebut sumbu semimajor. Demikian pula, jarak terpendek melalui pusat antara titik pada elips disebut sumbu minor dengan panjang 2b, dimana jarak b adalah sumbu semiminor. Entah fokus elips terletak pada jarak c dari pusat elips, di mana a² = b² + c² . Pada orbit elips dari sebuah planet di sekitar Matahari, Matahari berada pada satu fokus elips. Tidak ada di fokus lainnya.

Eksentrisitas elips didefinisikan sebagai e = c/a, dan menggambarkan bentuk umum dari elips. Untuk lingkaran, c = 0, dan karena itu eksentrisitas nol. b lebih kecil dibandingkan dengan a, semakin pendek elips sepanjang arah y dibandingkan dengan luasnya dalam arah x pada Gambar 13.4. Ketika b mengecil, c meningkat dan eksentrisitas e meningkat. Oleh karena itu, nilai yang lebih tinggi dari eksentrisitas yang sesuai dengan elips yang lebih panjang dan tipis. Kisaran nilai eksentrisitas untuk elips adalah 0 < e <1.

Eksentrisitas untuk orbit planet bervariasi dalam tata surya. Eksentrisitas orbit bumi adalah 0,017, yang membuatnya hampir bundar. Di sisi lain, eksentrisitas orbit Merkurius adalah 0,21, tertinggi dari delapan planet. Gambar 13.5a menunjukkan elips dengan eksentrisitas sama dengan orbit Merkurius. Perhatikan bahwa bahkan eksentrisitas orbit tertinggi ini sulit untuk dibedakan dari lingkaran, yang merupakan salah satu alasan hukum pertama Kepler adalah sebuah prestasi mengagumkan. Eksentrisitas orbit Komet Halley adalah 0,97, menggambarkan sumbu utama orbit jauh lebih panjang dari sumbu minor, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13.5b. Akibatnya, Komet Halley menghabiskan sebagian besar periode 76 tahun yang jauh dari Matahari dan tak terlihat dari Bumi. Hal ini hanya dapat dilihat dengan mata telanjang selama sebagian kecil dari orbitnya bila di dekat Matahari.

Sekarang bayangkan sebuah planet dalam orbit elips seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 13.4, dengan Matahari di fokus F₂. Ketika planet ini berada di bagian paling kiri dalam diagram, jarak antara planet dan matahari adalah a + c. Pada titik ini, disebut aphelion, planet pada jarak maksimum dari Matahari. (Untuk obyek di orbit sekitar Bumi, titik ini disebut apogee.) Sebaliknya, ketika planet di ujung kanan elips, jarak antara planet dan matahari adalah a - c. Pada titik ini, yang disebut perihelion (untuk orbit Bumi, perigee), planet berada pada jarak minimum dari Matahari.

Hukum pertama Kepler adalah akibat langsung dari sifat kuadrat terbalik dari gaya gravitasi. Kita telah membahas orbit lingkaran dan elips, bentuk orbit yang diizinkan untuk benda-benda yang terikat pada pusat gaya gravitasi. Benda-benda ini termasuk planet, asteroid, dan komet yang bergerak berulang kali mengelilingi matahari serta bulan yang mengorbit planet. Ada juga benda terikat, seperti meteor dari luar angkasa yang mungkin melewati Matahari sekali dan kemudian tidak pernah kembali. Gaya gravitasi antara Matahari dan benda-benda juga bervariasi sebagai kuadrat terbalik dari jarak pemisahan, dan jalur yang diperbolehkan untuk objek-objek mencakup parabola (e = 1) dan hiperbola (e > 1).

Hukum Kedua Kepler
Hukum kedua Kepler dapat ditampilkan sebagai akibat dari konservasi momentum sudut untuk sebuah sistem yang terisolasi sebagai berikut. Pertimbangkan sebuah planet massa M_p bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit elips (Gambar. 13.6a). Mari kita perhatikan planet sebagai suatu sistem. Kita memodelkan Matahari untuk menjadi jauh lebih besar dari planet bahwa Matahari tidak bergerak. Gaya gravitasi yang diberikan oleh matahari di planet ini adalah gaya sentripetal, selalu sepanjang vektor radius, mengarah ke Matahari (Gambar 13.6a). Torsi di planet akibat gaya sentripetal ini jelas nol karena F_g sejajar dengan r.

Ingat bahwa torsi eksternal total pada sistem sama dengan tingkat perubahan terhadap waktu dari momentum sudut sistem, yaitu ∑ t_ext = dL/dt (Persamaan 11,13). Oleh karena itu, karena torsi eksternal di planet ini adalah nol, maka dimodelkan sebagai sebuah sistem yang terisolasi untuk momentum sudut, dan momentum sudut L dari planet adalah konstana gerak:
L = r x p = M_p r x v = konstan

Kita dapat menghubungkan hasil ini dengan pertimbangan geometris berikut. Dalam interval waktu dt, vektor jari-jari r pada Gambar 13.6b menyapu wilayah dA, yang sama dengan setengah daerah |r x dr| dari jajar genjang yang dibentuk oleh vektor r dan dr. Karena perpindahan dari planet dalam interval waktu dt diberikan oleh dr = v dt:

dA = ½ |r x dr| = ½ |r x v dt| = (L/2M_p)dt  

                                                                                         (137)

di mana L dan Mp keduanya konstanta. Hasil ini menunjukkan bahwa vektor radius dari Matahari ke planet manapun menyapu daerah yang sama dalam interval waktu yang sama sebagaimana tercantum dalam hukum kedua Kepler.

Kesimpulan ini merupakan hasil dari gaya gravitasi menjadi gaya sentral, yang pada gilirannya menyiratkan bahwa momentum sudut planet adalah konstan. Oleh karena itu, hukum berlaku untuk setiap situasi yang melibatkan gaya sentripetal, apakah persegi terbalik atau tidak.

Hukum Ketiga Kepler
Hukum ketiga Kepler dapat diprediksi dari hukum kuadrat terbalik untuk orbit lingkaran. Perhatikan sebuah planet bermassa M_p yang diasumsikan bergerak mengelilingi Matahari (massa M_s) dalam orbit melingkar seperti pada Gambar 13.7. Karena gaya gravitasi memberikan percepatan sentripetal planet ketika bergerak dalam lingkaran, kita modelkan planet sebagai sebuah partikel di bawah gaya total dan sebagai partikel dalam gerak melingkar seragam dan memasukkan hukum Newton tentang gravitasi universal:
F_g = M_pa  →  = M_p (v²/r)

Kecepatan orbit planet adalah 2pr / T, di mana T adalah periode, sehingga ekspresi sebelumnya menjadi:
 

di mana K_s adalah konstanta yang diberikan oleh:
K_s = =2,97 x 10^-19  s²/m³

Persamaan ini juga berlaku untuk orbit elips jika kita mengganti r dengan panjang sumbu semimajor a (Gambar 13.4.):
                                                                    (13.8)

Persamaan 13.8 adalah hukum ketiga Kepler, yang dinyatakan dalam kata-kata di awal bagian ini. Karena sumbu semimajor orbit lingkaran adalah radius, persamaan ini berlaku untuk kedua orbit lingkaran dan elips. Perhatikan bahwa konstanta proporsionalitas K_s adalah independen dari massa planet. Persamaan 13.8 karena itu berlaku untuk planet manapun. Jika kita mempertimbangkan orbit satelit seperti bulan mengelilingi bumi, konstana akan memiliki nilai yang berbeda, dengan massa Matahari digantikan oleh massa bumi, yaitu K_E = 4p²/GM_E.

Tabel 13.2 adalah kumpulan data yang berguna untuk planet dan benda-benda lain di tata surya. Kolom paling kanan memverifikasi bahwa rasio T²/r³ adalah konstan untuk semua objek yang mengorbit Matahari. Variasi kecil nilai-nilai dalam kolom ini adalah hasil dari ketidakpastian dalam data yang diukur untuk periode dan sumbu semimajor obyek.

Karya astronomi terbaru telah mengungkapkan adanya sejumlah besar obyek tata surya di luar orbit Neptunus. Secara umum, benda-benda terletak pada sabuk Kuiper, wilayah yang membentang dari sekitar 30 AU (radius orbit Neptunus) sampai 50 AU. (AU adalah satuan astronomi, besarnya sama dengan radius orbit Bumi.) Estimasi saat ini mengidentifikasi setidaknya 70000 benda di wilayah ini dengan diameter lebih besar dari 100 km. Sabuk Kuiper objek (KBO) yang pertama adalah Pluto, ditemukan pada tahun 1930 dan sebelumnya diklasifikasikan sebagai planet. Mulai tahun 1992, banyak telah terdeteksi. Beberapa memiliki diameter dalam 1000-km, seperti Varuna (ditemukan pada tahun 2000), Ixion (2001), Quaoar (2002), Sedna (2003), Haumea (2004), Orcus (2004), dan Makemake (2005) . Satu KBO, Eris, ditemukan pada tahun 2005, diyakini signifikan lebih besar dari Pluto. Objek Sabuk Kuiper lain belum memiliki nama, tapi saat ini ditunjukkan oleh mereka tahun penemuan dan kode, seperti 2006 QH181 dan 2007UK126.

Sebuah subset dari sekitar 1400 objek Sabuk Kuiper disebut "Plutinos" karena, seperti Pluto, mereka menunjukkan fenomena resonansi, yang mengorbit Matahari dua kali dalam interval waktu yang sama seperti Neptunus berputar tiga kali. Penerapan kontemporer hukum Kepler dan proposal eksotis seperti planet sudut pertukaran momentum dan planet bermigrasi menunjukkan kegembiraan dibidang penelitian yang aktif saat ini (Serway, 2010:379-382).

CONTOH SOAL
Contoh soal dan pembahasan astronomi tentang hukum-hukum keppler gerak planet dan benda-benda di langit.

Hukum-Hukum Keppler tentang gerakan planet:
Hukum Pertama (Hukum lintasan elips).
Semua planet bergerak pada lintasan elips mengitari Matahari dengan Matahari berada di salah satu fokus elips.
Hukum Kedua.
Suatu garis khayal yang menghubungkan Matahari dan planet menyapu luas juring yang sama dalam selang waktu yang sama.

Hukum Ketiga (Hukum harmonik)
Perbandingan kuadrat period terhadap pangkat tiga dari setengah sumbu panjang elips adalah sama untuk semua planet.

Dalam perhitungan hukum ini ditulis sebagai:



Dimana T adalah periode revolusi planet, dan R adalah jarak antara planet dengan Matahari.

Dimana tetapan k kemudian diketahui adalah



Dengan
G = tetapan gravitasi
M = massa Matahari

Soal No.1
Dua planet A dan B mengorbit matahari. Perbandingan antara jarak planet A dan B ke matahari R_A : R_B = 1 : 4. Apabila periode planet A mengelilingi matahari adalah 88 hari maka periode planet B adalah……..hari
A. 500
B. 704
C. 724
D. 825
E. 850

Pembahasan
Data:
R_A : R_B = 1 : 4
T_A = 88 hari
T_B = ....



Periode planet B adalah 704 hari.

Soal No.2
Planet X dan planet Y mengorbit mengitari matahari. Jika perbandingan antara jarak masing-masing planet ke matahari adalah 3 : 1 maka perbandingan periode planet X dan planet Y mengelilingi matahari adalah….
A. √3
B. 2√3
C. 3√3
D. 4√3
E. 5√3

Pembahasan
Data:
R_X : R_Y = 3 : 1
T_X : T_Y =...



Perbandingannya adalah 3√3
Soal No.3
Dua buah galaksi saling mengorbit satu sama lainnya dengan periode 50 milyar tahun. Jarak kedua galaksi adalah 0,5 juta parsec. Tentukanlah massa kedua galaksi tersebut!
A. 1,2 x 10¹¹ massa matahari
B. 2,4 x 10¹¹ massa matahari
C. 3,2 x 10¹¹ massa matahari
D. 4,4 x 10¹¹ massa matahari
E. 5,2 x 10¹¹ massa matahari
(Hukum Keppler III - OSP 2009)

Pembahasan
Untuk dua soal sebelumnya rumus awal di atas telah memadai untuk menjawab, sementara untuk soal yang ini, akan digunakan bentuk lain yang sering disebut sebagai bentuk exact atau versi lengkap dari hukum Keppler III.



Jika kesulitan mendapatkan keterangan tentang bentuk ini di literature bahasa Indonesia, boleh dilihat di literature lain, Fundamental Astronomy, di halaman 119.
Disana dijelaskan secara detail hingga ketemu bentuk tadi. Lambang-lambang tidak diubah ngikut dari situ.
Soal No.4
Jika massa Matahari menjadi dua kali lebih besar dari sekarang, dan apabila planet-planet termasuk Bumi tetap berada pada orbitnya seperti sekarang, maka periode orbit Bumi mengelilingi Matahari adalah…
A. 258 hari
B. 321 hari
C. 365 hari
D. 423 hari
E. 730 hari